Distribuciones probabilidad discreta (página 2)

Ejemplo.- Sea el
experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire.
Los sucesos elementales del experimento, <<que salga
cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen
representados por los números, por lo que casa suceso
elemental se le hace corresponder un número real.
Así al suceso elemental <<que salga cara>> se
le hace corresponder el número "1" y al suceso elemental
<<que salga cruz>> se le hace corresponder el
número "2".

La variable aleatoria será: X =
(1,2).

Se trata de una variable aleatoria
discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar
los valores 1 y 2.

En general, una variable aleatoria discreta
se define como una aplicación f (xi) tal que:

ESPERANZA MATEMÁTICA

En un experimento aleatorio, la esperanza
matemática se define como la suma del producto de cada
valor de la variable aleatoria considerada por su
probabilidad.

Cuando la variable aleatoria X es discreta,
el valor de la esperanza matemática asociada viene dado
por:

Si se trata de una variable aleatoria
continua, el número de valores de la variable es infinito,
por lo que el sumatorio se convierte en una integral.

Siendo f (x) la función de densidad
de la variable aleatoria continua.

En estadística la esperanza
matemática (también llamada esperanza, valor
esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria
X, es el número que formaliza la idea de valor medio
de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta,
la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada
posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho
suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se
"espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la
probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el
experimento se repite un elevado número de veces. Cabe
decir que el valor que toma la esperanza matemática en
algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más
general de la palabra – el valor de la esperanza puede ser
improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado
cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos
hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor
posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los
sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la
media aritmética.

Definición.-

Para una variable aleatoria discreta con
valores posibles

y sus probabilidades representadas por la
función de probabilidad p(xi) la
esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la
esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y
la función de densidad

La definición general de esperanza
se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el
marco de la teoría de la medida y se define como la
siguiente integral:

La esperanza también se suele
simbolizar con

Las esperanzas

para

se llaman momentos de orden

Más importantes son los momentos
centrados

Propiedades [editar]

La esperanza es un operador lineal, ya
que:

Combinando estas propiedades, podemos ver
que –

Distribución
probabilística

Cuando se analiza un experimento
aleatorio, se descubren factores de comportamiento de la
probabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello,
es frecuente asociar a estos experimentos una
«función de probabilidad», que puede adoptar
diversas formas y regirse por principios diferentes y cuyo
estudio arroja luz sobre la naturaleza y las
características del fenómeno físico o social
ligado al experimento.

Función de distribución.-

La distribución Normal suele
conocerse como la "campana de gauss".

En teoría de la probabilidad y
estadística, la distribución de probabilidad de una
variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso
definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho
suceso ocurra. La distribución de probabilidad está
definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores
de la variable aleatoria.

Cuando la variable aleatoria toma valores
en el conjunto de los números reales, la
distribución de probabilidad está completamente
especificada por la función de distribución, cuyo
valor en cada real x es la probabilidad de que la
variable aleatoria sea menor o igual que x.

Dada una variable aleatoria X, se llama
función de distribución a aquella que proporciona
la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor
o igual que xi. Es decir:

Si se conoce la función de
distribución F (x) de una variable aleatoria X, ya sea
ésta discreta o continua, siempre se cumple que la
probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en el
intervalo (a, b] es:

• 1) VARIANZA.-

Es la media de las diferencias con la media
elevadas al cuadrado.

La esperanza media constituye un valor de
tendencia central, una media del valor de la variable
estadística. Para saber si los valores de una variable
estadística siguen una distribución centrada o
dispersa, es preciso completar el valor de la esperanza media con
el de la varianza.

En variables aleatorias discretas, la
varianza se define como:

En las variables aleatorias continuas,
existe un número infinito de valores, por lo que el
sumatorio de la fórmula anterior se convierte en
integral:

Siendo f (x) la función de densidad
de la variable aleatoria continua.

Ejemplo.-

Tú y tus amigos habéis medido
las alturas de vuestros perros (en milímetros):Las alturas
(de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y
300mm.

Calcula la media, la varianza y la
desviación estándar.

Respuesta:

así que la altura media es 394
mm.

Ahora calculamos la diferencia de cada
altura con la media:

Para calcular la varianza, toma cada
diferencia, elévala al cuadrado, y haz la
media:

Así que la varianza es
21,704.

Y la desviación estándar es
la raíz de la varianza, así que:

Desviación estándar: s =
v21,704 = 147

y lo bueno de la desviación
estándar es que es útil: ahora veremos qué
alturas están a distancia menos de la desviación
estándar (147mm) de la media:

Los Rottweilers son perros grandes. Y los
Dachsunds son un poco menudos..

Desviación
estándar

La desviación estándar (s)
mide cuánto se separan los datos.

La raíz cuadrada de la varianza
recibe el nombre de desviación típica:

Función de
probabilidad discreta

Denotaremos como  

a la probabilidad de que la variable
aleatoria tome el valor  

Se llama función de probabilidad
de una variable aleatoria discreta   a la aplicacion que a cada
valor de   de
la variable le hace corresponder la probabilidad de que la
variable tome dicho valor:

Por definición, deducimos que
si

son los valores que puede tomar la variable
  entonces:

ya que esta suma es, en realidad, la
probabilidad del suceso seguro.

Ejemplo

En el experimento de lanzar tres monedas al
aire, la aplicación   que asigna a cada resultado el numero de cruces
obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:

Función de
distribución acumulativa

La Función de Distribución
Acumulada corresponde a la probabilidad de que la variable
aleatoria tome un
valor numérico menor o igual a o representa el acúmulo de las
probabilidades hasta alcanzar el valor de interés.
Simbólicamente, lo anterior se expresa como:

Por ejemplo,

Distribución
binomial

Supongamos que un experimento aleatorio
tiene las siguientes características:

• En cada prueba del experimento
  sólo son posibles dos resultados: el suceso A
  (éxito) y su contrario`A (fracaso).

• El resultado obtenido en cada prueba es
  independiente de los resultados obtenidos
  anteriormente.

• La probabilidad del suceso A es
  constante, la representamos por  p, y no
  varía de una prueba a otra. La probabilidad de
  `A   es  1- p  y la
  representamos por  q .

• El experimento consta de un
  número  n  de pruebas.

Todo experimento que tenga estas
características diremos que sigue el modelo de la
distribución Binomial. A la variable 
X  que expresa el número de éxitos
obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos
variable aleatoria binomial.

La variable binomial es una variable
aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores
0, 1, 2, 3, 4, …, n  suponiendo que se han
realizado  n  pruebas. Como hay que considerar
todas las maneras posibles de obtener  k-éxitos 
y  (n-k) fracasos debemos calcular éstas por
combinaciones (número combinatorio n sobre k).

La distribución Binomial se suele
representar por  B(n,p)  siendo 
n  y  p  los parámetros
de dicha distribución.

Parámetros de la
Distribución Binomial.-

APLICACIONES.-

Algunas situaciones en las cuales se
utiliza la distribución Binomial se plantean a
continuación:

– Se desarrolla una nueva variedad de
maíz en una estación agrícola experimental.
Se plantan 20 semillas en un suelo de idéntica
composición y se le dedican los mismos cuidados. se espera
que germine el 90% de las semillas. Cuántas semillas se
espera que germinen?

Ejemplo 1

Una máquina fabrica una determinada
pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas.
Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo
haya una defectuosa.

Solución :

Se trata de una distribución
binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la
probabilidad  p(X=1).

La
distribución Poisson

Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados
son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc,
etc,:

– # de defectos de una tela por m2

– # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por
día, hora, minuto, etc, etc.

– # de bacterias por cm2 de cultivo

– # de llamadas telefónicas a un conmutador por
hora, minuto, etc, etc.

– # de llegadas de embarcaciones a un puerto por
día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x
éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la
fórmula a utilizar sería:

Las variables aleatorias de Poisson surgen
al observar un conjunto discreto de sucesos en un intervalo
continuo de tiempo, longitud o espacio.

En el campo microbiológico, las
variables con distribución Poisson están
relacionadas en su mayoría a procesos de conteo como el
recuento de microorganismos viables por conteo en plato o
determinación del número más probable (NMP),
así como a procesos relacionados con la
determinación de la probabilidad de mutación
celular.

Cuando se busca realizar del recuento de
microorganismos viables por conteo en plato o determinar el
número más probable (NMP), el suceso a observar
será el número de colonias bacterianas (UFC)
desarrolladas sobre el plato de agar o el número de tubos
con crecimiento bacteriano (positivos) y el intervalo
corresponderá a la unidad de muestra analizada,
llámese gramo de suelo, o mililitro de un líquido
analizado (agua, sangre, etc). –

En el caso de la determinación de la
probabilidad de mutación bacteriana, el suceso será
la observación del número de bacterias mutantes
(cada célula bacteriana mutante generará una
colonia en un medio de cultivo selectivo de dicha
mutación) y el intervalo corresponderá a la
concentración bacteriana bajo observación, por
ejemplo 210células bacterianas.

Autor:

Zeusjr